Tarihin Akışını Değiştiren 17 Denklem

Matematik ve astronomi aslında diğer doğa bilimlerinden tarihte çok daha geriye dayanıyor. Matematik ve doğa bilimleri sayısız şekilde dünya ve evrene olan anlayışımızın şekillenmesine yardımcı oldu.

2013 yılında, matematikçi ve bilim yazarı olan Ian Stewart “17 Equations That Changed The World” isminde bir kitap yayınladı. Bu kitapta yer alan 17 denklemi matematik öğretmeni olan bir twitter kullanıcısı aşağıdaki gibi özetlemiş.

Bu yazı içerisinde, bu denklemlerle ilgili kısa bilgiler vermeye çalışacağım.

1) Pisagor teoremi geometri anlayışımızın temelini oluşturur. Bir düz düzlem üzerine bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi açıklar: kısa kenarların uzunluklarının karesi bize uzun kenarın uzunluğunun karesini verir. Bu ilişki, bazı açılardan, aslında bizim normal düz, Öklid geometrisini eğri, Öklidyen olmayan geometriden ayırır. Örneğin, bir kürenin yüzeyinde çizilen bir dik üçgen Pisagor teoremine uymaz.

2) Logaritmalar üstel fonksiyonların tersi veya zıttıdır. Belirli bir üs için bir logaritma üssü yükseltmek için gerekenleri söyler. Örneğin, 1’in 10 tabanındaki logaritması log(1)=0’dır, 1 = 10⁰ için, log(10)=1, 10 = 10¹ için; log(100)=2, 100 = 10².

Bu yukarıdaki denklem, logaritmaların en kullanışlı uygulamalarından birini gösterir: log(ab) = log(a) + log(b) .

Dijital bilgisayar geliştirilene dek, bu çok sayıda çarpımın birlikte hızlıca alınmasının en yaygın yoluydu. Fizikte, astronomide ve mühendislikteki hesaplamalar bu şekilde oldukça hızlı yapılıyordu.

3) Diferansiyel ve integral hesabı, matematikte, fizikte, astronomide, mühendislikte çok önemli bir yere sahiptir. Yukarıdaki şekilde türevin tanımı gösterilmektedir. Türev bir niceliğin değişiminin hızını ölçer. Örneğin, biz bir şeyin hızını ya da süratını düşünüyorsak bu konumun türevi anlamına gelmektedir. Eğer saatte 3 kilometre yürüyorsanız, sonraki her saat sizin konumunuz 3 kilometre değişeceğini matematikte bu türev ifadesi ile tanımlanır.

Türev ve integral, değişimi anlamak isteyen matematikçiler ve bilim insanların anlayışlarının tam kalbinde yer almaktadır.

4) Newton’un Kütleçekimi Yasası iki cisim arasındaki kütleçekimi kuvveti F’in evrensel bir sabit olan G’ye, m1 ve m2 gibi iki kütleye sahip cisimlerin kütlesine ve cisimler arasındaki uzaklık r’ye bağlı olduğunu tanımlamaktadır. Newton’un bu yasası bilim tarihinin son derece değerli bir parçasıdır. Bu yasa mükemmele yakın bir şekilde gezegenlerin hareketinin nedenini açıklamaktadır. Ayrıca olağanüstü bir evrensel doğaya sahip olan bu yasa sadece Dünya veya Güneş Sistemimiz üzerindeki kütleçekminin nasıl çalıştığını değil evrendeki herhangi bir yerdeki kütleçekimini açıklayabilmektedir.

Newton’un evrensel kütleçekim yasası iki yüz yıl boyunca kütleçekimi için çok iyiydi ama Einstein’ın genel görelilik teorisi Newton’un eksiklerini gidererek bu yasanın yerini aldı.

5) -1’in karekökü, karmaşık sayılar matematikçilerin her zaman kullandıkları doğal sayılardan negatif sayılara, kesirlere, gerçek sayılara olan aralığın daha geniş olduğunu gösteriyor. -1’in karekökü genellikle i olarak yazılır. Bu i, sayıların doğasında var olan bu genişleme sürecini tamamlar ve bu sayılara karmaşık sayılar denilir.

Matematiksel olarak karmaşık sayılar fevkalade zariftir. Cebir üzerinde mükemmel olarak çalıştığını görebiliriz, herhangi bir denklem bir karmaşık sayıdan oluşan çözüme sahiptir, bu durum gerçek sayılar için doğru olmayan bir durum oluşturabilir x²+4=0 denkleminde olduğu gibi. Çünkü bu denklemin gerçek sayıdan oluşan bir çözümü yoktur ama bir karmaşık çözüme sahiptir: 2i’nin karesi -4’tür ve bu denklemi sağlar. Karmaşık sayılar sayesinde cebir böylelikle genişlemiş olur ve bu genişleme ile, bizler bazı şaşırtıcı simetrileri ve bu sayıların özelliklerini bulabiliriz. Böyle özellikler elektronikte ve sinyal işlemede karmaşık sayılarını önemli kılmaktadır.

6) Euler’in Polihedra Formülü: Polihedra aşağıdaki şekilde olan küpte olduğu gibi çokgenlerin üç boyutlu versiyonlarıdır. Bir polihedronun köşeleri köşe noktaları olarak adlandırılır, köşe noktalarına bağlanan çizgiler kenarlardır ve çokgenlerin kenarları kapsayan yüzleri vardır.

Bir küp 8 köşe noktası, 12 kenara ve 6 yüze sahiptir. Eğer köşe noktaları ve yüzler toplanıp kenarlar çıkarılırsa (8+6-12=2) 2 elde edilir.

Euler’in formülü ne kadar uzun bir çokgeniniz olursa olsun, köşe noktaları ve yüzler eklendikçe, kenarlar çıkarılacaktır ve her zaman 2 elde edilecektir. Bu modern fiziğe özel matematiğin bir dalı olan topolojinin geliştirilmesine yol açmıştır.

7) Normal olasılık dağılımı istatistikte yaygın olan çan eğrisi grafiği ile bilinir. Normal eğrisi fizikte, biyolojide ve sosyal bilimlerde değişik özelliklerin modellenmesinde kullanılır. Normal eğrisinin kullanılmasının nedenlerinden biri bağımsız süreçlerin büyük gruplarının davranışı açıklıyor olmasıdır.

8) Dalga denklemi bir özelliğin türevi bakımından zamana göre nasıl değiştiğini açıklayan bir diferansiyel denklemdir. Bu dalga denklemi dalgaların davranışını açıklar, yani titreşen bir gitar teli, fırlatılan taş sonrası gölde oluşan dalgalar veya bir akkor ampulden çıkan ışık tüm bunların zamana göre değişimini bu dalga denklemi ile açıklayabilirsiniz. Dalga denklemi ilk diferansiyel denklemlerdendir ve bu denklemi çözmek için geliştirilen teknikler diğer diferansiyel denklemlerini anlamak için yeni kapılar açtı.

9) Fourier dönüşümü insanın konuşması gibi daha karmaşık dalga yapılarının anlaşılmasında temel bir araçtır. Konuşan bir kişinin kaydı gibi dağınık dalga fonksiyonu verildiğinde Fourier dönüşümü bir dizi basit dalgaların bir kombinasyonu içine dağınık fonksiyonu kırmaya izin verir böylece büyük ölçüde analiz basitleşir.

Fourier dönüşümü modern sinyal işleme ve analizi ile veri sıkıştırmasının kalbinde yer almaktadır.

10) Navier-Stokes denklemleri de dalga denklemi gibi bir diferansiyel denklemdir. Bu denklemler akan sıvıların davranışını tanımlar. Örneğin, bir boru boyunca akan su, bir uçağın kanadının üzerinden geçen hava akımı ya da bir sigaradan yükselen duman; tüm bunların davranışları Navier-Stokes denklemleri ile açıklanabilir. Navier-Stokes denklemlerinin yaklaşık çözümlerine sahipsek bilgisayarlar oldukça iyi bir şekilde akışkan hareketini simüle edebilirler. Bu ise aslında bir milyon dolar ödüllü açık bir sorudur: bu denklemlerin tam olarak matematiksel çözümlerini elde edilmesi mümkün müdür?

11) Maxwell denklemleri elektrik ve manyetizma arasındaki ilişkiyi ve davranışları tanımlayan dört tane diferansiyel denklemden oluşmaktadır. Bu denklemler Newton’un hareket yasaları ve evrensel kütleçekim yasasının klasik mekanik olması gibi klasik elektromanyetizmadır ve elektromanyetizmanın nasıl çalıştığına dair olan anlayışımızın temelidir. Modern fizik elektromanyetizmanın bir kuantum mekaniksel açıklamasına dayanır ve Maxwell’in bu harika denklemleri büyük ölçeklerde iyi çalışan bir yaklaşımdır.

12) Termodinamiğin ikinci yasası kapalı bir sistemde entropinin her zaman arttığını veya sabit olduğunu belirtir. Termodinamik entropi kabaca konuşursak bir sistemin düzensizliğinin ölçüsüdür. Bir sistem diyelim ki sıcak bir bölgeden soğuk bölgeye geçişin olduğu bir sistem olsun ve bu sistem her zaman sıcak alanda soğuk alana ısı aktarılması ile eşitlendirme eğiliminde olacaktır eşit dağılım sağlanana kadar.

Termodinamiğin ikinci yasası bu şekilde zamanla ilgili fizikteki birkaç meseleden biridir. Çoğu fiziksel süreç tersinebilirdir yani denklemleri geriye doğru herhangi bir karışıklık olmadan çalıştırabilirsiniz. Bu ikinci yasa ise tek yönlüdür yani tersinmezdir. Eğer bir bardak sıcak kahve içine bir buz kübü koyarsanız, biz her zaman buz kübünün eriyeceğini görürüz ve asla kahve buzlanmaz. İşte bu tersinmez bir süreçtir.

13) Einstein, özel görelilik ve genel görelilik teorileri ile radikal bir şekilde fiziğin seyrini değiştirdi. E=mc² madde ve enerjinin bir diğerinin eş değeri olduğunu ifade ediyor. Özel görelilik ışık hızının evrensel bir hız sınırı olduğu ve farklı hızlarda hareket eden insanlar için zamanın da farklı geçtiği gibi farklı fikirlerle evrene bakış açımızı değiştirdi.

Genel görelilik ise kütleçekiminin uzay ve zamanda nasıl bir eğrilme ve katlanmaya yol açtığını tanımlıyor ve Newton’un evrensel kütleçekim yasasından sonra kütleçekimi anlayışımızdaki ilk büyük değişiklik oldu. Genel görelilik evrenin kökeni, yapısı ve nihai kaderi için oluşan anlayışımızın temelidir.

14) Schrödinger denklemi kuantum mekaniğinin temel denklemidir. Genel görelilik büyük ölçeklerde bizim evrenimizi nasıl açıklıyorsa bu denklem de atomlar ve atom altı parçacıkların davranışlarını anlamamızda bize yardımcı olmaktadır.

Modern kuantum mekanik ve genel görelilik tarihteki en başarılı iki bilim teorisidir. Şimdiye dek yapılan tüm deneysel gözlemler bu teorilerin tahminleri ile tamamen uyumludur. Kuantum mekanik ayrıca en modern teknoloji için gereklidir. Bu teknolojiler arasında nükleer enerji, yarıiletken temelli bilgisayarlar ve laserler sayılabilir ve bunlar kuantum olaylara göre tasarlanmakta ve üretilmektedir.

15) Bilgi teorisi için yukarıda verilen denklem Shannon bilgi entropisi olarak adlandırılır. Bu termodinamik entropi ile düzensizliğin bir ölçüsüdür. Bu durumda, bir mesaj bilgi içeriğini ölçebilir yani bir kitap, bir JPEG resmini internet üzerinden gönderilmesi sembolik olarak temsil edilebilir. Bir mesajın Shannon entropisi o mesaj içeriğinin bir kısmı bile kaybolmadan nasıl sıkıştırılıp da en düşük boyutlarda gönderilmesini sağlamaktadır.

Shannon’un entropi ölçümü bilginin matematiksel olarak çalışılmasına neden oldu ve bunun sonucunda günümüz haberleşme ağı gelişti.

16) Kaos teorisi, kaotik davranışların matematiksel olarak incelenmesine dayanır. Bir kaotik davranış da başlangıç koşullarına oldukça duyarlıdır. Atmosfer koşullarında küçük bir değişimin birkaç gün sonra tamamen farklı hava sistemlerine neden olmasıyla daha çok kaos teorisi ilgilenir. Daha yaygın bir düşünce daha vardır ki, bir kıtada kanatlarını çırpan bir kelebek başka bir kıta üzerinde bir kasırgaya yol açabilir.

17) Black-Scholes denklemi başka bir diferansiyel denklem olarak finans uzmanlarının ve borsa simsarlarının türevlerle nasıl fiyatlar bulduklarını anlatır. Buradaki türevler modern finans sisteminin önemli bir parçasıdır. Bu türevlerden kastımız bir hisse senedi gibi bazı temel varlıklara dayalı finansal ürünlerdir. Yani siz bu denklemleri kullanarak bu hisse senetlerinin değerlerini ilgili değişkenlerine göre nasıl değişeceğini hesaplayabiliyorsunuz.

Bu listeye daha bir çok denklemi ekleyebilirsiniz ama Dünya’yı değiştiren denklemlerin bir kısmına burada kısaca yer vererek bu yazımızı bitiriyoruz.

Gökhan Atmaca, MSc. twitter.com/kuarkatmaca | facebook.com/anadoluca

Kaynak:
http://www.businessinsider.com/17-equations-that-changed-the-world-2014-3