Kuantum dalga fonksiyonlarının ilk öne sürülüşünden bu yana 60 yıl geçtiğini ve gelecekte de evrenimize dair anlayışımızı geliştirmede dalga fonksiyonundan yararlanmayı sürdüreceğimizi “Kuantum Dalga Fonksiyonu ve Fiziksel Yorumu” isimli yazımda belirtmiştim. Kuantum dalga fonksiyonu kuantum mekaniğin varsayımlarından (postülaları) biridir. Bu postüla dışında kuantum mekaniğinde ihtiyaç duyduğumuz başka postülalar da vardır. Bu postülaları özetle şöyle sıralayabiliriz:
- Korunumlu bir alanın kuvveti ile hareket eden herhangi bir parçacık sistem hakkında bildiğimiz her şeyi belirleyen bir dalga fonksiyonu ile ilişkilidir.
- q fiziksel ölçülebilir bir özellikle birleştirilen herhangi bir Q işlemcisi Hermityen olacaktır.
- q gibi her bir gözlenebilir ile bir Q işlemcisi bağlantılıdır. Q işlemcisinin özfonksiyonlar kümesi lineer bağımsız fonksiyonlar kümesinden oluşacaktır.
- Bir dalga fonksiyonu ile belirlenen bir sistem için, herhangi bir q özelliğinin beklenen değeri dalga fonksiyonuna göre beklenen değerin integrali alınarak bulunabilir.
- Dalga fonksiyonun zamanla değişimi zamana bağımlı Schrödinger denklemi ile verilir.
- Toplam dalga fonksiyonu bir fermiyonun bir diğeriyle tüm koordinatlarını değiş tokuş etmesine göre antisimetrik olmalıdır.
Postüla 1. Bir kuantum mekaniksel sistemin durumu zamana ve parçacıkların konumlarına bağlı Ψ(r,t) fonksiyonu tarafından tamamen belirlenir. Bu fonksiyon, dalga fonksiyonu veya durum fonksiyonu olarak adlandırılır ve belirli bir t zamanında, belirli bir r konumunda bir dτ hacim elemanında parçacığın bulunma olasılığını veren Ψ(r,t)*Ψ(r,t)dτ bir önemli özelliğine sahiptir.
Bu olasılık yorumu nedeniyle dalga fonksiyonu belirli matematiksel koşullara uymalıdır. Tek bir parçacık durumunda, parçacığın belli bir yerde bulunma olasılığı 1’dir, yani bizim normalizasyon koşulumuz
şeklinde olmalıdır. Ayrıca çok sayıda parçacık dalga fonksiyonları da 1’e normalize edilir. Dalga fonksiyonu tek değerli, sürekli ve sonlu olmalıdır.
Postüla 2. Klasik mekanikteki her bir gözlenebilir kuantum mekaniğinde bir doğrusal, Hermityen işlemciye karşılık gelmektedir.
Bu postüla, Hermityen işlemcisinin özelliklerinden ileri gelir ve eğer bir işlemcinin beklenen değeri  gerçek ise, o beklenen değeri Â, bir Hermityen işlemci olmalıdır. Kuantum mekaniğinde yer alan bazı yaygın kullanılan işlemciler aşağıdaki tabloda toplanmıştır.
Gözlenebilir | Gözlenebilir | İşlemci | İşlemci |
İsim | Sembol | Sembol | İşlemi |
Konum | ile çarpmak | ||
Momentum | |||
Kinetik enerji | |||
Potansiyel enerji | ile çarpmak | ||
Toplam enerji | |||
Açısal momentum | |||
Postüla 3. Â işlemcisi ile birleştirilen gözlenebilirin herhangi bir ölçümünde, değerler sadece özdeğer denklemine uyan gözlemlenen a özdeğerleri olacaktır. Yani kuantum mekaniğinde her fiziksel kavram, gözlenebilir bir Q operatörü ile temsil edilir. Özdeğer denklemi de aşağıdaki gibidir,
Bu postüla kuantum mekaniğini kalbinden yakalar – dinamik değişkenlerin değerleri kuantize olabilir (bağlı olmayan durumlarda özdeğerlerine hâlâ bir sürekliliğe sahip olma olasılığına rağmen). Eğer sistem a özdeğeri ile Â’nın öz durumundaysa, sonra A niceliğinin herhangi bir ölçümü a’yı verecektir.
Ölçümlerin her zaman bir özdeğer sağlaması gerekliliğine rağmen, başlangıçta bu durumda Â’nın bir özduruma sahip olması gerekmez. Keyfi bir durum Â’nın özvektörler kümesinin tamamlanmasında genişletilebilir
Burada n sonsuza gidebilir. Bu durumda sadece biz A’nın ölçümünün sadece ai değerleri vereceğini biliyoruz, ama hangisi olduğunu bilmiyoruz. Ancak, biz ai özdeğerinin oluşma olasılığını biliyoruz, bu olasılık sabitin mutlak değerinin karesidir (|ai|²) ve dördüncü postülanın oluşmasına neden olur.
Bu üçüncü postülanın ikinci yarısı önemlidir, Ψ’nin ölçüm sonrası ai gibi bir özdeğer verir, dalga fonksiyonu aniden Ψ özdurumuna karşılık gelerek “çöker” ( bu durumda ai dejenere olur, sonra Ψ dejenere altuzayı üstüne Ψ’nin izdüşümü hâline gelir). Böylece, ölçüm sistemin durumunu etkiler. Bu gerçek, kuantum mekaniğinin çok sayıda özenle hazırlanmış deneysel denemelerde kullanılmaktadır.
Postüla 4. Eğer sistem normalize olmuş bir Ψ dalga fonksiyonu ile tanımlanan bir durumda ise, Â’ya karşılık gelen gözlenebilirin ortalama değeri şöyle verilir
Postüla 5. Bir sistemin dalga fonksiyonu veya durum fonksiyonu zamana bağlı Schrödinger denklemine göre zamanla değişir.
Kuantum mekaniğinin bu merkez denklemi bir postüla olarak kabul edilmelidir.
Postüla 6. Toplam dalga fonksiyonu bir fermiyonun bir diğeriyle tüm koordinatlarını değiş tokuş etmesine göre antisimetrik olmalıdır. Elektronik spin bu koordinatlar kümesi içinde olmalıdır.
Pauli dışarlama ilkesi bu antisimetrik ilkesinin doğrudan bir sonucudur.
Gelecek yazılarımızda kuantum mekaniği üzerine konuşmaya devam edeceğiz…
Gökhan Atmaca, MSc. twitter.com/kuarkatmaca | facebook.com/anadoluca
Kaynaklar:
- http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node20.html
- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/qm.html