Klasik mekanikte, biz bir parçacığın veya parçacıkların konumu ve momentumu ile genellikle çalışırız. Buradan biz sistem hakkında tüm fiziksel bilgiyi üretebiliriz. Yani sistem ile ilgili hız, enerji, açısal momentum gibi büyüklükler konum ve momentum üzerinden hesaplanabilir. Ancak, böyle bir yaklaşımla kuantum mekanik için ciddi problemlerle karşılaşılacağını görmek kolaydır. Çünkü, kuantum mekaniğinde belirli bir konum ve momentum hakkında konuşmak yanlıştır.
ANDY HAIR/ISTOCKPHOTO
Bu sorunun üstesinden gelmek için, parçacığın belirli bir konum veya momentum değeri yerine biz orada bulunan parçacığın uzayda her bir noktadaki olasılığını belirleriz. Biz parçacığın belirli bir momentuma sahip olma olasılığını da benzer olarak tanımlayabiliriz ancak bu yaklaşım başlangıçta kullanışlı değildir.
Böylece kuantum mekaniğinde biz sistem hakkında tüm bilgiyi veren bir dalga fonksiyonuna sahip olmalıyız. Genel olarak bu dalga fonksiyonu kompleks (karmaşık) olacaktır. Bu dalga fonksiyonun mutlağının karesi sistemin olasılık dağılımı anlamına gelecektir.
Konum (ya da momentum) şimdi bir değişken değildir. Daha ziyade, konum veya momentum bir operatördür. Biz bunun nasıl çalıştığını görmeden önce, operatörleri daha iyi anlamak için haydi biraz konumuzdan sapalım.
Örnek için iki sistem durumu ele alalım. Bu iki durumla, biz belirli bir özelliğin (rengin) sadece iki değere (kırmızı ve mavi) sahip olabileceğini söyleriz. Şimdi sistemin bir dalga fonksiyonu bu durumların bir karışımı olacaktır. Dalga fonksiyonu K olduğunda, parçacık kırmızı olarak tanımlı ve M olduğunda ise mavi renklidir. Yani, genel olarak sistemin dalga fonksiyonu ikisinin doğrusal bir kombinasyonudur.
Ψ=xK+yM
|x|², parçacığın kırmızı renkte olduğu olasılığını verir ve bu iki durumlu bir sistem olduğu için, |y|²=1-|x|² ‘de parçacığın mavi olma olasılığıdır. x ve y, karmaşık sayılar olabilir. Bu nedenle mutlak değer içerisinde karesini alırız.
Kuantum mekaniğin temel varsayımı herhangi bir ölçümün operatörün özdurumlarının biri ile sisteme gönderilecek olmasıdır. Özdurumlar bir operatör tarafından değiştirilmemiş sistemin durumlarıdır.
Bu örnekte, sistemin rengini ölçtüğümüzde biz bir renk operatörü ile dalga fonksiyonunu çarpıyoruz: kırmızı veya mavi.
Yani, kuantum mekaniğine göre eğer bir renk ölçümü yapıyorsanız, sistemin rengini asla kırmızı ve mavinin bir karışımı olarak bulamazsınız. Kuantum mekaniği, sadece bazen sistemin kırmızı bazen de mavi olduğunu olasılıklara karşılık gelecek şekilde bulacağımızı söyler.
Eğer sistemin başka bir özelliği ölçülmek istenseydi, karmaşık renk sonucuna varabileceğimiz bir durum bulabilirdiniz ama sizin bu karışımı gözlemeniz mümkün olmazdı. Belirsizlik ilkesi işte bu olgudan kaynaklanıyor.
Olasılık etkisini görmek için, sistemi sıfırdan hazırlamak gerekir. Başka bir deyişle, bir ölçüm yapmadan önce, sistemin sonsuz zihinsel kopyalarını hazırlanması ve sonra onların her biri üzerine aynı ölçüm yapılmalıdır.
Konuma geri dönelim, bu bir özel operatördür, konumun spektrumu yani özdeğerler aralığı süreklidir. Bizim örneğimiz ayrık bir sisteme (kırmızı ve mavi) sahipti. Çalışmanın ayrıntıları böyle bir operatör için daha karmaşıklaştı ama temel dayanak noktası tam olarak aynı kalmaktadır.
Şimdi ne olacak? Biz kuantum mekaniğinin yeterince büyük bir ölçekte klasik mekaniğine indirgenmesi gerektiğini biliyoruz. Tek bir parçacık için, bu dalga fonksiyonu klasik konum etrafında pik yapar ve standart sapma yaklaşık olarak h Planck sabiri kadardır. Yani, normal ölçekler üzerinde, parçacığın belirsizlik etkisini göremeyiz.
Klasik mekanik ile aynı sonuçları görmek için, biz bir “beklenen değer kavramı”nı kullanabiliriz. Bir işlemcinin beklenen değeri onun özdeğerlerinin sadece ortalama değeridir, karşılık gelen olasılıklar ile ağırlıklandırılmış olarak tabi. Konum ve momentumun beklenen değerleri klasik konum ve momentum gibi ilişkili oldukları gösterilebilir.
Buraya kadar dalga fonksiyonun adından söz etmeden klasik mekanik ile kuantum mekaniği karşılaştırmaya çalıştık. Yazının kalan kısmında daha çok fizik içeren kavramlarla kuantum dalga fonksiyonu nedir sorusuna cevap aramaya çalışacağız…
Kuantum Dalga Fonksiyonu
Her bir parçacık bir dalga fonksiyonu tarafından temsil edilir. Bu dalga fonksiyonun kendisiyle çarpılmış hâli belirli bir zamanda belirli bir konumda parçacığın bulunma olasılığını verir.
Dalga fonksiyonu Schrödinger denkleminde kullanılır. Schrödinger denklemi Newton yasalarında ve klasik mekanikte enerjinin korunmasında rol oynar[2]. Bu denklem, dinamik bir sistemin gelecekteki davranışı hakkında bilgi verir. Ayrıca olayların analitik ve hassas bir şekilde olasılığını öngörür. Schrödinger denklemi sonuçların dağılımını da tahmin eder.
Dalga Fonksiyonun Özellikleri
- Dalga fonksiyonu, parçacık hakkında tüm ölçülebilir bilgiyi içerir.
- Eğer parçacık varsa, bulunma olasılığı bir yerlerde 1 olmalı, o zaman Ψ*Ψ tüm uzayda toplandığında 1’dir.
- Dalga fonksiyonu süreklidir.
- Dalga fonksiyonu Schrödinger denklemi aracılığı enerji hesaplamalarına olanak tanır.
- Dalga fonksiyonu üç boyutlu olasılık dağılımını sağlar.
- Dalga fonksiyonu verilen bir değişkenin etkin ortalama değerinin hesaplanmasına izin verir.
- Serbest bir parçacık için dalga fonksiyonu bir sinüs dalgasıdır. Bu hassas bir şekilde momentumun belirlendiği ve konumun tamamen belirsiz olduğunu işaret eder (belirsizlik ilkesi).
Dalga Fonksiyonu Varsayımı
Bir parçacıktan oluşan fiziksel bir sistemle bir dalga fonksiyonun birleştirilmesi kuantum mekaniğin varsayımlarından biridir. Bu dalga fonksiyonu sistem hakkında bilinebilecek her şeyi belirler. Dalga fonksiyonu konum ve zamanın tek bir değerli fonksiyonu olarak kabul edilir, çünkü belirli bir konum ve zamanda parçacığın bulunma olasılığının belirsizliğe yer vermeyen tam bir değer olmasını garanti etmesi yeterlidir. Dalga fonksiyonu karmaşık bir fonksiyon olabilir, belirli bir durumda parçacığın gerçek fiziksel bulunma olasılığını belirlemek amacıyla onun karmaşık eşleniği ile çarpılır.
Dalga Fonksiyonu Üzerine Kısıtlamalar
Fiziksel olarak gözlemlenebilir bir sistemi temsil etmek için, dalga fonksiyonunun bazı kısıtlamaları karşılaması gerekir:
- Schrödinger denkleminin bir çözümü olmalıdır.
- Normalize edilir olmalı. Bu, dalga fonksiyonun x (konum) sonsuza yaklaştığında sıfıra yaklaştığını ifade eder.
- x’in sürekli bir fonksiyonu olmalıdır.
- x fonksiyonuna göre eğimi sürekli olmalıdır. Özel olarak dΨ(x)/dx kısmi türevi sürekli olmalıdır.
Bu kısıtlamalar çözümler üzerine sınır koşullarını uygular ve bu süreçte enerji özdeğerlerinin belirlenmesinde yardımcı olurlar.
Kuantum Mekaniğinde Olasılık
Belirli bir zamanda uzaydaki belirli bir konumda bir parçacığın bulunması için dalga fonksiyonu olasılık genliği ile temsil edilir. Parçacığın asıl bulunma olasılığı onun karmaşık eşleniği ile çarpımından (karmaşık bir fonksiyonun genliğinin karesi gibi) elde edilir.
Parçacığın bir yerde olması gerektiği için olasılık 1 olmalıdır, bunun için de dalga fonksiyonu normalize olmalıdır. Yani, tüm uzay için olasılıkların toplamı 1’e eşit olmalıdır. Bu integral ile ifade edilir
Schrödinger denkleminden hesaplanan dalga fonksiyonun kullanılması için herhangi bir fiziksel gözlenebilirin değeri belirlenmelidir. Bu da tüm uzay boyunca olasılığın integralinin alınıp 1’e eşit olması ile yani normalizasyon ile sağlanır.
Ve Kuantum Mekaniği…
Parçacıkların veya bir kuantum durumunun (sistemin) özelliklerini dalga fonksiyonu ile tanımlanmasıyla kuantum mekaniği mikroskopik dünyanın günümüz modeli olarak bilim insanları tarafından kullanılmaya ve geliştirilmeye devam edildi. Bu yazının konusu çerçevesinde kuantum mekaniği hakkında şunları söyleyebiliriz:
- Kuantum mekaniği dünyayı iki parçaya ayırır, yaygın olarak bunlar sistem ve gözlemci olarak adlandırılır.
- Sistem modellenen dünyanın bir parçasıdır.
- Dünyanın geriye kalan kısmı da gözlemcidir.
- Gözlemci ve sistem arasındaki bir etkileşme ölçüm olarak adlandırılır.
- Sistemin özellikleri gözlenebilirler adıyla ölçülebilir. Konum, momentum, açısal momentum, enerji gözlenebilirlere örnektir.
- Gözlemcinin başlangıç bilgisi sistemle ilgili bir dizi ölçümlerden ileri gelir. Bu da klasik fizik ile aynıdır.
- Sistemin durumu farklı matematiksel formlarla belirtilebilir olsa da bu bilgileri temsil eder.
- Sistemin durumu sık sık bir dalga fonksiyonuna göre temsil edilmektedir.
- Kuantum mekaniği sistemin durumunun nasıl geliştiğini öngörür ve böylece gözlemci sistem hakkındaki bilginin zamanla nasıl değiştiğini bilir. Bazı bilgiler korunur ve bazıları kaybolur. Durumun gelişimi deterministiktir. Schrödinger denklemi bu gelişimi açıklar. Sonraki ölçümler yeni bilgiler sağlar ve böylece sistemin durumu genellikle ölçümler sonrası değişir. Sistemin dalga fonksiyonu genellikle bir ölçüm sonrası değişir.
Yani kuantum mekaniği gerçekte sistemi tanımlamaz ama dünyanın geri kalanı muhtemelen sistem hakkında bilgiye sahiptir.
Dalga fonksiyonu doğrudan fiziksel anlama sahip değildir. Bu bilgiyi depolamanın sadece bir yoludur. Gözlemci sistem hakkındaki mevcut tüm bilgiyi depolar. Herhangi bir zamanda tüm ölçümlerin sonucu hakkında tahminler/öngörüler yapmak için dalga fonksiyonundan bilgiyi çıkartmak amacıyla bir şey yapmak gerekir. Bu da bazı matematiksel işlemlerden biridir, karesini almak, bir sabit ile çarpmak, diferansiyelini almak gibi. Bazen de dalga fonksiyonu üzerine bir operatör ile işlem yapmak gerekir. (Bu operatör özel bir işlem veya bir dizi işlemden oluşur) Her gözlenebilirin kendisi ile ilişkili bir operatörü vardır.
Kuantum mekaniğinde, dalga denkleminin bir parçası olarak bir parçacığın kuantum durumunu tanımlayan ve o parçacığın nasıl davrandığına dair bilgileri içeren dalga fonksiyonunun kuantum mekaniğin varsayımlarından biri olduğunu bu yazımızda ifade etmeye çalıştım. Bu varsayımın üzerinden 60 yıl geçmesine karşın hâlen kullanılabilir ve uygulanabilir; görünen o ki gelecekte de evrenimize dair anlayışımızı geliştirmede dalga fonksiyonundan yararlanmayı sürdüreceğiz.
Gökhan Atmaca, MSc. facebook.com/anadoluca | twitter.com/kuarkatmaca
Nanoölçek Aygıtlar ve Taşıyıcı İletimi Grubu
Kuark Moleküler NanoBilim Araştırma Grubu
Kaynaklar:
- http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function
- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/wvfun.html
- http://en.wikibooks.org/wiki/Quantum_Mechanics/Meaning_of_Quantum_Wave_Function
- http://web.utk.edu/~cnattras/Phys250Fall2012/modules/module%202/interpretation.htm
