Elektromanyetizmada Biot-Savart yasası bir elektrik alan tarafından üretilen manyetik alanı tanımlayan bir denklemdir. Bu yasa manyetik alanın elektrik akımının büyüklüğüne, yönüne, uzunluğuna ve ona yakınlığına bağlı olduğunu söyler. Ayrıca Biot-Savart yasası manyetostatik yaklaşımda da geçerlidir ve manyetizma için Gauss yasası ve Ampere’nin devre yasası ile de uyumludur. Yasa adını 1820 yılında elektrik akımı ile manyetik alan arasındaki ilişkiyi keşfeden Jean-Baptiste Biot ve Felix Savart’tan almaktadır.
Bu yazıda sürekli akım tarafından üretilen manyetik alanı açıklamaya çalışacağız. Bu açıklamayı yaparken manyetik alanın yönüne ve büyüklüğüne değişik faktörlerin nasıl etkilediğini ifade edip sonra Biot-Savart yasası kullanılarak manyetik alanı hesaplayacağız.
Elektrik akımının veya hareketli yüklerin manyetik alan kaynağı olduğunu manyetizma ile ilgili yazımızda belirtmiştik. dl gibi bir uzunluk elemanına sahip küçük bir akım taşıyan iletkenin taşıdığı I akımı manyetik alanın temel bir kaynağıdır. I akımı taşıyan dl akım elemanından r uzaklığındaki dB manyetik alanın büyüklüğü I akımı, dl uzunluğu ile doğru orantılı ve r uzaklığının karesi ile ters orantılı olduğu Biot ve Savart tarafından bulunmuştur. Manyetik alanın yönü ise dl çizgi elemanına diktir.
Matematiksel olarak, dB manyetik alanı şöyle yazılır:
(1)
Aşağıdaki şekil akım elemanı ve manyetik alan arasındaki ilişkiyi göstermektedir.
Şekilde, dl çizgi elemanını ve r yarıçap vektörünü kağıt düzleminde bulunan P alan noktasına bağlayan orta nokta çizgi elemanı olarak düşünelim. (1) eşitliğinden, biz manyetik alanın hem dl’ye hem de r’ye dik olmasını bekleriz. Böylece dB manyetik alanının yönü sağ el kuralı ile dl ve r tarafından oluşan düzleme dik olan eksenin yönündedir.
Manyetik alanın büyüklüğü şöyle ifade edilir:
(2)
θ, dl çizgi elemanı ve r yarıçap vektörü arasındaki açıdır.
İletkenden dolayı P noktasında çıkan manyetik alan iletkenin uzunluğu boyunca (1) eşitliğinin integre edilmesiyle bulunabilir, B=∫dB .
Bu yasanın kolayca Coulomb yasasının manyetik eşdeğeri olduğu görülebilir. Akım noktası veya akım segmentinden olan uzaklığın karesi ile manyetik alanın azalmasından temel olarak bu eşdeğerliği görebiliriz. Bir akım noktasının bir nokta yükten daha zor elde edilmesi gerçeğinden dolayı aralarında farklılık vardır.
Biot-Savart yasası bir akım elemanı ile ilgilenir. Bir akım elemanı uzaklık ile akımın çarpılmasıyla bir manyetik eleman gibidir. Ancak bir akım elemanı tek bir noktada var olamaz. Bu nedenle, biz akım elemanın türevini ve nokta-akım elemanlarının bir yol üzerinden integralini almalıyız.
Zaten bildiğimiz Coulomb yasası ve diğer etkilerden Biot-Savart yasasını türetelim. İlk olarak, Coulomb yasasına dayanarak bir nokta yük etrafındaki bir elektrik alan ifadesi ile başlayalım:
Eğer
- q ile Idl’yi yer değiştirirsek (I akımı bir telde her zaman sabittir)
- Aynı zamanda E ile dB’yi de yer değiştirirsek (sonsuz küçüklerin korunması gerekir)
Sonra biz çok basit bir şekilde Biot-Savart yasasını elde ederiz
Burada k ifadesi Coulomb yasasından biliyoruz. Ancak bu geçiş sırasında serbest uzayın geçirgenliği ε0, manyetik geçirgenlik ile yer değiştirmeli. Bu durumda Biot-Savart yasası için k sabiti şöyle olmalı
Şimdi burada dB manyetik alanı,
Sonuç olarak biz akım elemanın bir nokta yükün tersine bir yöne sahip olduğunu göz önünde bulundurmamız gerekiyor. Bir manyetik alan akıma dik açılarda olduğunda en güçlüdür, biz yarıçapın yönünde çapraz çarpımı yapmak zorundayız,
Yine burada θ, r ve l arasındaki açıdır.
Coulomb yasası ve Biot-Savart yasası arasında kıyaslama
- Elektrik ve manyetik alanların her ikisi kaynak ve alan noktası arasındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır.
- Elektrik alanı üreten dq yük elemanı skalerdir ama Idl akım elemanı akımın yönüyle aynı yönde olan bir yöne sahip olan vektörel bir niceliktir.
- Coulomb yasasına göre, herhangi bir P noktasındaki elektrik alanın büyüklüğü sadece herhangi bir P noktasından yük elemanına olan uzaklığa bağlıdır. Biot-Savart yasasına göre de manyetik alanın yönü akım elemanına diktir, aynı zamanda çizgi elemanına da.
- Elektrik alanın ve manyetik alanın her ikisi de sırasıyla yük ve akım elemanı yani kaynakları ile orantılıdırlar. Bu doğrusallık yük ve akımın daha karmaşık dağımından dolayı alanı bulmayı, hesaplamayı basitleştirir.
Biot-Savart yasasını tanımladık ve hatta Coulomb yasası ile de kıyasladık. Şimdi, akım taşıyan bir tel etrafında ve bir akım ilmeğinin merkezinde manyetik alanı Biot-Savart yasasını kullanarak bulalım:
Akım Taşıyan Bir Tel Etrafında Manyetik Alan
İlk önce bir I akımı taşıyan uzun, düz bir telden R uzaklığındaki manyetik alanı bulalım. Bunu yapmak için Biot-Savart yasasının uygun kullanımını belirlemek gerekir,
Uzaklık ile ilgili olmayan terimleri integral dışına çekelim,
Bu teli uzun, sonsuz uzunlukta olduğunu düşünelim ve integrali şu hâli alır,
Simetri ilkelerini kullanarak, telin yarısını alırız ve sınırlarımız böylelikle değişir. Sonra, bu simetri özellikleri bize son B manyetik alanın değerinin iki katını sağlayacaktır.
Burada,
- l, nokta akım elemanından telin en yakın noktasına kadar olan uzaklıktır.
- R, tel ile P noktası arasındaki uzaklıktır
- r, ise nokta akım elemanından P noktasına olan uzaklıktır
ve r ise,
Şimdi r2 yerine 
trigonometrik tanımından yararlanırız,
Şimdi de dl diferansiyel ifadesini tanımlamaya ihtiyacımız var. Bunun için yine az önceki trigonometrik tanımdan yararlanırız,
Şimdi yer değiştirip, integral alma zamanı ama bizim diferansiyelimiz değişti, bu nedenle integralin sınırları da değişmelidir. l->0 olduğunda, θ sonsuz küçük olur ve sıfıra yaklaşır, l->∞ olduğunda ise θ π/2’ye yani 90° ‘ye yaklaşır.
İşte böylelikle akım taşıyan bir tel etrafındaki manyetik alanı temel matematik bilgilerimizi kullanarak Biot-Savart yasası ile bulduk.
Akım Taşıyan Bir İlmeğin Merkezinde Manyetik Alan
Akım taşıyan bir ilmeğin merkezindeki manyetik alan ne olacaktır? Bulmak için öncelikle teli ilmeğin yarıçapı R ve I akımı taşıyan bir tel olarak kabul edelim.
r akımın yönüne her zaman dik olduğu için, bizim dağınık entegrasyon konusunda endişelenmemize de gerek yoktur.
Bundan başka, dairesel bir ilmek olduğu için de l, 2πr’ye eşittir. Bu durumda integral alma işlemi şu hâli alır,
Biot-Savart yasası ile birçok diğer geometride manyetik alanı bulmak kolayca mümkün olabilir. Biot-Savart yasası uygulamalarının daha az olduğu varsayılan Ampere yasasından daha doğrudur ki Ampere yasasını gelecek yazımızda ele alacağız. Ancak Ampere’ye göre uygulaması daha zordur. Bu nedenle, Biot-Savart yasası Ampere yasasının uygulanamadığı yerlerde kullanılma eğilimindedir.
Elektrik ve Manyetizma isimli yazı dizimizde sonraki yazımızın konusu olan Ampere yasasını ele alırken görüşmek üzere…
Gökhan Atmaca, MSc. twitter.com/kuarkatmaca | facebook.com/anadoluca
Nanoölçek Aygıtlar ve Taşıyıcı İletimi Grubu
Kuark Moleküler NanoBilim Araştırma Grubu
Kaynaklar:
- http://en.wikipedia.org/wiki/Biot%E2%80%93Savart_law
- http://physicscatalyst.com/magnetism/mag_current.php
- http://dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=Magnetism_BiotSavartLaw.xml
Elektrik ve Manyetizma yazı dizimizde,
Önceki Yazımız: Dünya’nın Manyetik Alanı ve Manyetosfer
Sonraki Yazımız: Ampere Yasası
