Coulomb yasasına göre bir alternatif olarak Gauss yasası elektrik alan büyüklüğünün hesaplanmasında kullanışlıdır. Gauss yasası sayesinde Coulomb yasasına göre elektrik yükü ile elektrik alan arasında olan ilişki hakkında daha iyi bir anlayışa sahip olabiliriz. Gauss yasası tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olarak anılan Alman Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından ilk defa keşfedilmiştir.
Bir silindirik Gauss yüzeyi için Gauss yüzeyine dik dA vektörü ve elektrik alan çizgilerinin gösterimi. Copyright: Yves Pelletier
Gauss yasasında kapalı bir yüzeyden geçen elektrik akı üzerinden elektrik alanın büyüklüğünü hesaplarız. Bu yasayı tanımlarken öncelikle elektrik akısını belirtmeliyim.
Bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısı ile orantılı olduğunu bildiğimiz elektrik akısının elektrik alan büyüklüğü ile alana (ki bu alan küresel, silindir gibi bir yüzey alanı olabilir) dik A yüz ölçümünün çarpımı olarak tanımlanır. SI’ya göre elektrik akısının birimi N.m2/C ‘dur. Matematiksel olarak en basit ifadesi şöyledir:
Φe = EA
Eğer elektrik alan çizgileri ile yüzey alanı arasında teta’lık bir açı varsa bu matematiksel ifade Φe = EA cosθ hâlini alır.
Şimdiye kadar elektrik alanı düzgün yani değişmeyen bir elektrik alanı kabul edilerek bu matematiksel ifadelere başvuruldu. Yüzey üzerinde değişebilen bir elektrik alanın olduğu durumda ise ifademiz şöyle değişir: ΔΦe=EiΔAicosθ=Ei.ΔAi Burada skaler çarpım söz konusudur. ΔAi, yüzeye dik alınan bir vektördür ve ΔΦe elektrik akısı da bu ΔAi‘lik küçük yüzey ögesinden geçen elektrik akıyı ifade eder. Bu küçük yüzey ögesini yukarıdaki şekil üzerinden ele alabilirsiniz.
Yüzeyden geçen toplam akıyı genel olarak şu şekilde tanımlayabiliriz:
Φe= ∑ΔA -> 0 Ei ΔA = ∑ΔA -> 0
Kapalı bir yüzeyden geçen net elektrik akısı Ei, elektrik alanın yüzeye dik bileşeni olmak üzere
E•ΔA = ∫E•dA =∫EidA, ‘dır.
Gauss yasası bu noktada yukarıdaki bu net elektrik akı ifadesini o yüzey içinde bulunan net elektrik yükü ile ilişkilendirmektedir. Bu noktada Gauss yasasının Coulomb yasasına göre elektrik yükü ile elektrik alan arasındaki ilişkiye dair getirdiği görüş farklılığı görülebilir. Çünkü Gauss yasasına göre ‘bir net nokta yükü saran herhangi bir kapalı yüzeyden geçen net akı, net yükün elektriksel geçirgenliğe olan bölümüne eşittir.’
Kapalı yüzey içindeki bir nokta yük için elektrik alanını tartışarak Gauss yasasını uygulayalım ve yukarıdaki tanımı anlamlı bir zemin üzerinde düşünelim. Küresel bir yüzeyin yarıçapı r ve içindeki yük q olmak üzere elektrik alanın büyüklüğünün E=kq/r2 (k=1/4πϵ0) olduğunu elektrik alanı yazısında ifade etmiştim.
Bu küresel yüzey için net elektrik akı ifadesini ve bu elektrik alan büyüklüğünü göz önüne alırsak, yani Φe = EA ifadesinde E=kq/r2 (k=1/4πϵ0) ve ∫dA, (küresel yüzey için ∫dA=A=4πr2’dir) düzenlemeler sonucu net elektrik akı,
olur. Görüldüğü üzere net elektrik akı yüzey içindeki nokta yük ile doğru orantılı oldu. Buradan yola çıkarak Gauss yasasına göre, herhangi bir kapalı yüzeyden geçen net elektrik akının Φe=∫E•dA =q/ϵ0 olduğunu söyleyebiliriz.
Bu kapalı yüzeyleri Gauss yasası uygulamalarında yükü saran hayali bir Gauss yüzeyi olarak düşünürüz ve probleme uygun biçimde çizerek bu yüzey içinde kalan net yüke göre net akı ifadesini kullanırız. Eğer bu Gauss yüzeyi bir yükü sarmıyorsa yani yüzey içinde bir yük yoksa bu kapalı yüzeyden geçen net elektrik akısı sıfırdır.
Buraya kadar belki bu yasanın Coulomb yasasından çok da farklı olmadığı düşünülebilir ama elektrik alan büyüklüklerinin hesaplanmasında yüksek simetrilere sahip problemlerin çözümünü Gauss yasası basitleştirmektedir. Bu ifadeden anlaşılacağı üzere Gauss yasası, yüksek simetrili yük dağılımlarının elektrik alan büyüklüğünün hesaplanmasında kullanışlıdır.
Gauss Yasası Uygulamaları
Gauss yüzeyi kullanılarak çeşitli problemlerde Gauss yasasını uygulayabiliriz.
Çizgisel Yükün Elektrik Alanı
Düzgün bir doğrusal yük yoğunluğu ile bir sonsuz çizgisel yükün elektrik alanı Gauss yasası kullanılarak elde edilebilir. r yarıçaplı bir silindir formunda bir Gauss yüzeyini göz önüne alalım, elektrik alanı silindirin her bir noktasında aynı büyüklüğe sahip olur ve dışarı doğru yönlenir. Elektrik akısı silindirin alanı çarpı elektrik alan büyüklüğü kadardır.
Uzun bir çizgisel yük için seçilen silindirik Gauss yüzeyi.
İletken Silindirin Elektrik Alanı
Düzgün bir doğrusal yük yoğunluğu ile sonsuz bir silindirik iletkenin elektrik alanı Gauss yasası kullanılarak elde edilebilir. Yarıçapı r>R olan bir silindir formunda bir Gauss yüzeyini göz önüne alalım, elektrik alan silindirin her noktasında aynı büyüklüğe sahiptir ve dışa doğru yönlenmiştir. Elektrik akısı da aynı şekilde silindirin alanı ile elektrik alan büyüklüğü çarpımıdır.
Bir Yüklü Silindir İçinde Elektrik Alan
Düzgün yüklü sonsuz bir silindirin içinde elektrik alanı simetri ile radyal olarak dışa doğrudur ama silindir bir Gauss yüzeyi toplam Q yükünden daha azını çevreleyecektir. Bir r yarıçapı içindeki yük hacimlerin oranına göre verilir:
Elektrik akısı sonra şöyle hesaplanır
ve böylece elektrik alanı 
‘dir.
Not olarak r=R sınır ve r≥R (içinde) için yukarıdaki elektrik alan ifadesinin kabul edildiğini söylemeliyim. Dışında (r<R) ise aşağıdaki gibidir.
Sonsuz silindirik yükün dışındaki elektrik alan r/R^2 ile orantılıdır.
Yüklü Düzlem Levhanın Elektrik Alanı
Yüklü bir sonsuz düzlem levha için, elektrik alanı yüzeye dik olacaktır. Böylece sadece bir silindir Gauss yüzeyinin ucu/sonu elektrik akısına katkıda bulunacaktır. Bu durumda bir yüklü düzlem levhaya dik olarak bir silindir Gauss yüzeyi kullanılır. Sonuç olarak elektrik alanı bu yüzey yük yoğunluğuna sahip dengedeki bir iletkenin yarısı kadardır.
Paralel Plakaların Elektrik Alanı
Eğer zıt yüklere sahip paralel iletken plakalar sonsuz düzlemde gibi düşünülürse, sonra Gauss yasası plakalar arasındaki elektrik alanı hesaplamak amacıyla kullanılabilir. Plakalar iletken içinde sıfır elektrik alan ile dengede olarak kabul edildikten sonra yüklü bir iletken yüzeyden kullanılabilir.
Bu da iki yüklü düzlem levha gibi yük katmanı düşüncesiyle uyumlu yapar ve elektrik alanı şöyle olur: 
(her iki yönde)
Denge Durumunda İletken
Denge durumundaki iletkenin gösterimi.
Dengedeki bir iletken için tüm net yük yüzey üzerindedir ve elektrik alan yüzeye diktir. Madde madde açıklarsak eğer,
- Bir iletkenin net elektrik yükü tamamen onun yüzeyinde bulunur. (Coulomb yasasından bilinen karşılıklı yüklerin birbirini itmesi yüklerin iletken yüzeyinde bu nedenle birbirlerinden uzakta olmasını gerektirir.)
- İletken içindeki elektrik alan sıfırdır. (İletken içinde yüklerin bol ve hareketli olmasından dolayı iletkende net elektrik alandan söz edemeyiz. Bu denge koşulunu bozar: net kuvvet= 0.)
- İletkenin yüzeyindeki dış elektrik alanı yüzeye diktir. ( Eğer alanın bir bileşeni yüzeye paralelse, bu bileşen yüzey boyunca hareket eden hareketli bir yüke neden olacaktır, dengenin kabulünü bozarak.)
İletken Yüzeyin Elektrik Alanı
Bir iletken yüzeyin yakınındaki elektrik alanın doğasını araştırmak Gauss yasasının önemli bir uygulamasıdır. Yüzeye dik olan bir silindirik Gauss yüzeyini düşünelim, elektrik akısına olan katkının sadece Gauss yüzeyinin üst kısmı boyunca olduğu görülür. Böylelikle akı şu şekilde verilir
ve elektrik alan buradan basitçe şöyle çıkarılır, 
Aslında iletken dengededir ve bu probleme önemli bir kısıtlama getirir. Bize alanın yüzeye dik olduğunu söyler çünkü aksi takdirde yüzeye paralel bir kuvvet uygular ve yük hareketi üretir. Buna benzer olarak, iletkenin içindeki alanın sıfır olduğunu bize söyler aksi durumda yük dengede olmayacak ve yük hareket edeceği için.
Sadece sonsuz bir iletken için bu yaklaşımlar tam olarak doğru iken, yine de bu durum bize dengedeki herhangi bir iletken yaklaşımımız olarak çeşitli problemlerin çözülmesinde kolaylık sağlar.
Sonuç
Gauss yasasının yüksek simetrili yük yoğunluklarının olduğu problemlerde elektrik alan büyüklüklerinin hesaplanmasında kullanışlı olduğunu ve Coulomb yasasına göre elektrik yük kavramına başka bir açıdan bakmamızı sağladığını bu çalışma içinde ele aldık. Özetle denilebilir ki, Gauss yasası Coulomb yasasına göre elektrik yükünü elektrik akısı vasıtasıyla elektrik alana bir alternatif bakış açısı bize sunmuştur. Bu alternatif bakış açısı sayesinde yüksek simetrili yük yoğunlukları ile ilgili problemlerde kullanışlı bir elektrik alan büyüklüğü hesaplama yöntemine sahibiz.
Bu çalışma için HyperPhysics’ten değerli R. Nave’in çalışmalarından ve grafiklerinden faydalanıp bir kısmını Türkçeleştirdim-kendisine teşekkürler.
Gökhan Atmaca, MSc. –
Twitter: twitter.com/kuarkatmaca
Instagram: instagram.com/anadoluca
Kuark Bilim Topluluğu
Kaynaklar:
- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gaulaw.html
- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elecyl.html#c1
- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elesht.html#c1
- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gausur.html#c3
- http://electron9.phys.utk.edu/phys136d/modules/m4/gauss.htm
- Hugh D. Young, Roger A. Freedman, University Physics, Addison Wesley, 2009.
- Raymond A. Serway, Robert J. Beichner, Fizik 2, Çev. Edi. Prof. Dr. Kemal Çolakoğlu, Palme Yayıncılık, 2002.
Elektrik ve Manyetizma yazı dizimizde,
Önceki Yazımız: Elektrik Dipolü ve Su Molekülü
Sonraki Yazımız: Elektrik Akımı
