Matematikte ve geometride en sık karşılaştığımız pi sayısı, papiruslardaki hesaplamalardan günümüzdeki süper bilgisayarların algoritmalarına kadar uzanan bir geçmişe sahip. Aslında basamak sayısı tarihinden çok daha uzun.
Pi dairenin çevresinin çapına oranıdır ve tüm çemberlerde aynı sonucu veren matematiksel bir sabittir.Yunanca’da çevre manasına gelen perifer sözcüğünden türetilmiştir.Bu sembol Ingiliz matematikçiler William Oughtred, Isaac Barrow ve David Gregory tarafından dairenin çevresini temsil etmesi amacıyla kullanılıyordu.Çevrenin çapa oranı yani günümüzdeki halini ilk kullanansa, 1706’da basılmış bir yayınıyla Ingiliz yazar William Jones’tir. Ancak o dönemde bu sembol çok fazla kabul edilmemiş, Euler 1737’de sembolü sahiplenmiş ve belirsizliğe son vermiştir.
Bu sayı uzun bir tarihe sahip olmayı da hak ediyor.
Pi’nin Tarihi
Pi sayısının kökeni geometrik hesaplara dayanmaktadır.
Arşimed’in de P’ye biçtiği değer geometri kökenlidir. Kullandığı yol şu; yarıçapı 1 olan daire ve daireye teğet olarak çizilmiş bir üçgen kullanılıyor. Dıştaki eşkenar üçgenin kenar sayısı(3) her seferinde 2 ile çarpılarak genişletiliyor ve 96 kenarlı bir çokgen meydana geliyor. Çokgen bu haliyle hemen hemen bir daireye benziyor. Dairenin yarıçapı 1 birim olarak kabul edilirse, bu çokgen serilerinin limitinden dairenin alanı Pi.r2=Pi.1 sayısı elde edilir. Bunu ilk kez Arşimed düşünmüştür ve pi sayısını
3(10/71)< pi<3(1/7)
bulmuştur. Bu yöntem sonraki 1800 yıl süresince temel olarak kullanıldı.
Pi’nin Babillilerden beri bilindiği kabul ediliyor. Babilliler ve Antik Mısırlılar M.Ö 2000 yılında bu sayıyı araştırmaya koyuldular.Mısırlılar p’yi (4/3)4 olarak ve Babilliler ise 3(1/8) şeklinde buldular.Aynı yıllarda Hintliler değerini buldular.Orta Çağ’da sıkça kullanılan bu değer şu denklemde kullanılarak pi’ye yakın olduğu görebiliriz.
√n=√a2+b
=(2a2+a+b)/(2a+1)
n yerine 10 yazarsak a’yı 3 ve b’yi ise 1 olarak buluruz.Elde edilen son denklemin sonucundan da görebileceğimiz gibi pi’nin yaygın olarak neden √10 olarak kullanıldığını görürüz.
Ilk bilimsel çalışmaların Arşimed ile başladığını söylemiştik.Bu hesaplamalar bir dal parçası ve bir ip ile Nil Nehri kıyılarında yapılmış olabilir.Ancak ondan da önce yani M.Ö 1800’lü yıllarda Ahmes’in bıraktığı Mısır papirüsünde pi değerinin formülü şu:çapın 8/9’ni hesaplayıp karesini almak.Yarıçapı 1 birim yani çap 2 birim seçilirse;
2.(8/9)2 =256/81
=3,1604 değeri bulunur.Bu da pi’ye çok yakın bir değer olduğunu gösteriyor.
Pi’nin tarihi ile ilgili bir sıralama yaparsak;
-Oranı(pi) Eski Mısır,Babil,Çin,Hint ve Yunan uygarlıkları bulmuştu.Hintliler ve Yunanlılar dairenin alanını pi.r2 olarak bulmuş ve r’yi yarıçap olarak kullanmışlardı.
-Arşimed’in kürenin hacmini (4/3) pi.r3 olarak gösterdi.r yarıçap ve yüzey alanı ise 4pi.r2’dir.
-Hintli astronom (gökbilimci) ve matematikçi Aryabhata pi’nin 5.basamağına kadar hesapladı.
-Hintli gökbilimci ve matematikçi Madhava Sangamagrama 14.yy’da sınırsız seriyi oluşturdu.
pi/4=1-1/3+1/5-1/7+…(+,-) 1/(2n-1)(+,-)…
Bu seri ile değeri hemen günümüzdekiyle aynı şekilde sonuç elde etti;
3,14159265359
-1761 yılında Johann Heinrich Lambert pi’nin irrasyonel olduğunu pi/4=1 sonucuna dayanarak gösterdi.
-1882’de Alman Matematikçi Ferdinand von Lindemann pi’nin aşın (cebirsel olmayan) bir sayı olduğunu kanıtladı.
-1953’de Kurt Mahler pi’nin Liouville sayısı olmadığını kanıtladı.
-Çinli matematikçi ve gökbilimci zu Chongzhi pi’yi Arşimed’in yöntemiyle daha net bir aralıkta gösterdi.
3,1415926<pi<3,1425927
-1424 yılında Fars Müslüman Matematikçi ve gökbilimci olan Ghyath ad-din Jamshid Kashani
2pi=6,2831853071795865’in
pi=3,14159265358979325 ile uyuştuğunu gösterdi.Ayrıca Gyhath,çokgenlerin çevresini 3.2.1018 şeklinde doğruladı.
pi Tutkusu
pi sayısından sonraki ondalık basamaklarda tüm irrasyonellerde olduğu gibi belirli bir düzen yoktur. Bu nedenle düzensizliğin içindeki düzenli kısımları anlamak,bunları ezberlemek insanları heyecanlandıran bir tutku haline gelmiştir.Bu heyecan 1596 yılında Ludolph Van Ceulen adlı Alman matematikçinin pi’nin 35 basamağını hesaplamak için ömrünün büyük bir kısmını harcamasına neden olmuştur. Daha sonra vasiyeti üzerine mezar taşına pi’nin 35 basamağı yazılmıştır.
1699 yılında pi sayısı, Sharp tarafından 71 basamağa kadar hesap edilmişti. 1841’de Ingiltere’den William Rutherford p’nin 208 basamağını hesapladı ancak 152’sinin doğru olduğu tespit edildi.
1844 yılında Zacharias Dase p’nin 200 ondalık basamağını doğru olarak elde etti. Bu başarısının yanında 8 basamaklı 2 sayıyı 55 saniyede, 20 basamaklı olanları 2d.k’da, 40 basamaklı olanları 40 d.k’da ve 100 basamaklı sayıları ise 2 saat 45’da aklından hesaplayabiliyordu.100 basamaklı bir sayısının karekökünü de aklından 52 d.k’da hesaplayabiliyordu. Hatta oluşturduğu çarpım tablosu 7.000.000 ile 10.000.000 arasındaki sayıların çarpımından oluşuyordu.
1853 yılında probleme Rutherford geri dönüş yaparak 400 basamağı doğru elde etti. Bu yarışa 1873 yılında Shanks katılmış ve 707 basamağa kadar hesap etmiştir.
1882’de F.Lindemann pi’nin üstün bir sayı olduğunu göstermiştir. Bir sayı rasyonel katsayılara sahip herhangi bir polinomun köküne sahipse ona cebirsel denir, eğer değilse üstün (aşın,cebirsel olmayan) sayıdır.
1940 yılında yayınlanan Mathematics and Imagination adlı kitapta Kasner ve Newman “Günümüzde pi sayısının ilk 1000 basamağını bulmak için yaklaşık 10 yıllık bir çalışma gerekmektedir.”diyor. Ancak pi 1949’da (Sözden 9 yıl sonra) bilgisayarla tanıştı. Aberdeen elektronik bilgisayar ENIAC ile pi’nin 2037 basamağını 70 saatte hesapladı. 1961’de ise IBM 7090 kullanılarak 100265 basamak tespit edildi.1973 yılına gelindiğinde ise tam 100.000 basamağa ulaştılar.
1981 yılında Tsukuba Üniversitesi’nden iki Japon matematikçi FACOM-200 bilgisayarı ile pi çılgınlığına dahil oldular. Elde edilen sonuç 2000.038 basamaktı ve 137.30 saatte bulunmuştu.
Bu hız Cary-2 süper bilgisayarının 28 saat çalışması sonucu 29.360.000 basamağa ulaşması,kısa bir süre sonra Tokyo Üniversitesi’nden NEC SX-2 süper bilgisayarını kullanarak 1344.217,700 basamağı elde etmesiyle devam etmiş.Son olarak 1995 yılında Yasumasa Kanada’nın rekor kıran hesaplaması ile 6.442.450.000 basamağı elde etti.
Şimdiye kadar anlatılanlar pi’yi hesaplayanlardı. Şimdi de pi’yi ezberleyenlere bir göz atalım. Bu işin ne kadar ciddiye alındığını ve hayran kitlesi olduğunu Amerika’daki birkaç örnekte görebiliriz:
-pi’nin 1000 basamağını ezberleyenler kulübü,
-Pi’nin 100 basamağını ezberleyenler kulübü,
-Pi kulübü,-Alman vatandaşı olanların kurduğu: Klub der Freunde der Zabl Pi
-Diğer sınıf ise pi’nin diğer ülkelerdeki arkadaşlarından oluşuyor.
Pi’yi ezberlemek düşündüğümüz kadar abartılmamalı. Çünkü ezberlemek için özel yöntemler var ve bu yöntemlere “piphilogy” deniliyor. Akira Haraguchi pi’nin 100.000 basamağını ezberlemişti ve büyük bir yankı uyandırmıştı. Pi World Ranking List’de rekor Haraguchi’ye ait. Bununla birlikte fizikçilerin yakından tanıdığı Richard Feynman da vereceği bir konferans nedeniyle pi’yi piphilogy ile ezberlemeye çalışırken pi’nin 762.basamağında 6 kez tekrar eden 9 rakamını görmüştür ve buna Feynman Noktası deniliyor.
Irrasyonel sayıların herhangi birinde 6 kez 9’un bulunma olasılığı %0,08’dir. Bir sonraki 6’lı sıralama 193.034. basamakta yer alıyor. Aynı altı ardışık sayı 222.299. basamakta görülür.
Siz de kendi yöntemlerinizle veya bilinen yöntemlerle pi tutkunları arasına katılabilirsiniz.
Hazırlayan: Talha ZAFER / Sakarya Üniversitesi Fizik Bölümü / Kuark Bilim Topluluğu
Kaynaklar:
- http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_point
- http://tr.wikipedia.org/wiki/Pi_say%C4%B1s%C4%B1
- http://uzweb.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pi.htm
- http://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A0
- http://www.matematikciyiz.com/pi.htm
- Bilim ve Teknik Dergisi, Ocak 1997, Sayı:350, Syf:102
- Bilim ve Teknik Dergisi, Şubat 1997, Sayı:351, Syf:106
- Bilim ve Teknik Dergisi, Haziran 1986, Sayı:223, Syf:14
