Leonardo Fibonacci’nin 1170’li yıllarda Pisa’da doğdu sanılmaktadır. Adı ortaçağın en büyük matematikçileri arasında geçmesine rağmen hayatıyla ilgili pek fazla bilinen bir şey yok. Fibonacci henüz çocuk yaştayken, Pisa’lı bir tüccar olan babası Guglielmo, Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Avrupa’da henüz Roma rakamları kullanılırken Fibonacci Arap rakamlarını ve sıfırı bu sayede öğrenir. Daha sonra da öğrendiklerini Liber Abaci adlı kitabıyla yayınlar (bu nedenle kendisine “Matematik’i Arap’lardan alıp, Avrupa’ya aktaran kişi” denilir). Bugün kendisinin bu kadar ünlü olmasının arkasında da bu kitapta verdiği bir soru ve bu sorunun cevabı olarak ortaya çıkan dizi vardır. Liber Abaci’de yer alan problem şöyledir;
“Adamın biri dört yanı duvarlarla çevrili bir yere bir çift tavşan konmuştur. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift(dişi ve erkek) tavşan yavruladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği varsayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?”
Biraz düşününce tavşan çiftleri aylara göre şu sıralamayı ortaya koymaktadır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Bu diziye de dikkatlice bakıldığında ilk iki sayı hariç her sayı kendinden önce gelen iki sayının toplamına eşit.
Fibonacci sayılarının ilginç bir özelliği vardır. Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Örneğin;
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,6153846153846153846153846153846
34/21 = 1,6190476190476190476190476190476
55/34 = 1,6176470588235294117647058823529
89/55 = 1,6181818181818181818181818181818
144/89 = 1,6179775280898876404494382022472
233 / 144 = 1,6180555555555555555555555555556
377 / 233 = 1,6180257510729613733905579399142
610 / 377 = 1,6180371352785145888594164456233
Dizinin ardışık terimlerinin birbirine oranı bu şekilde bir artarak bir azalarak ilerler ama asla bir sabit değere eşit olmaz. Peki, bu dizinin limiti nedir?
Elimizdeki diziye göre 
‘dir (Her n>1 için). Bu durumda;
olur.
(an) dizisi artan bir dizi olduğundan
< 1 olur. Bu durumda 
olduğundan biz bunu “k” diye bir sabite eşitleyebiliriz.
‘dir.
=k değerini
eşitliğinde yerine koyarsak elimize k=1+(1/k) eşitliği geçer. Bu denklemin iki çözümü vardır.
k2 <0 olduğundan aradığımız limit olamaz. Bu durumda cevap k1 ’dir.
Fibonacci dizisinin ardışık terimlerinin birbirine oranı sonsuzda 
oranına erişir ki bu orana altın oran adı verilir.
Altın Oran
Yazımızın bu kısmına ücretsiz bilim dergimiz NetBilim’in 3.sayısını inceleyerek erişebilirsiniz.
Altın Noktanın Belirlenmesi
Yazımızın bu kısmına ücretsiz bilim dergimiz NetBilim’in 3.sayısını inceleyerek erişebilirsiniz.
Doğada Fibonacci Sayıları ve Altın Oran
Görsel: Cankat AKDEMİR.
Fibonacci sayılarına özellikle doğada çok sık rastlamaktayız. Bu sayılar bitki yaprakları, bitki tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda sıkça karşımıza çıkmaktadır.
Bitkiler âlemine genel bir bakışla yaklaşıldığında ise, bitki sapları üzerindeki yaprakların dizilişinin Fibonacci dizisine uygun olduğu görülür. Bu yargı; kavak, elma, muz, armut, karaağaç gibi birçok bitki için geçerlidir.
Tütün bitkisi yapraklarının dizilişindeki Fibonacci dizisi ise, bitkinin güneşten ve havadaki karbondioksitten optimum düzeyde faydalanmasını sağlayarak, yüksek düzeyde fotosentez yapmasına olanak verir. Bu özellik eğrelti otunda da gözlemlenmektedir.
Ayçiçeğinin üstündeki spiral şeklinde dizilmiş tohumları saat yönünde ve tersi yönde saydığımızda ardışık iki Fibonacci sayısına ulaşırız. Papatya çiçeğinde de aynı Fibonacci dizisi gözlenmektedir. Benzer bir durum çam kozalağı üzerindeki tanelerde de mevcuttur. Bu taneler kozalağın alt kısmındaki sabit bir noktadan başlayarak, tepe noktasındaki başka bir sabit noktaya doğru eğriler çizerek gelişirler ve bu gelişim sonunda taneleri soldan sağa ve sağdan sola doğru sayarsak başka bir Fibonacci dizisi elde ederiz.
Doğada Altın Oran ve Fibonacci Dizisi bu şekilde ortaya çıkmışken, insanların bu duruma kayıtsız kalması beklenemezdi. Ünlü ressam Picasso’nun tablolarında da bu oran vardır. Leonardo da Vinci’nin Mona Lisa tablosunda da bu oran vardır. Tabloların enlerinin boylarına oranı altın oranı verir. Tıpkı Mısır piramitlerinin tabanlarının yüksekliklerine oranının verdiği gibi.
Bu yazının tamamına NetBilim’in 3.sayısında ücretsiz olarak ulaşabilirsiniz.
Hazırlayan: Kaan TOKDEMİR – NetBilim Dergisi yazarı
Kaynaklar:
Baykut, V. ve Kıvanç, F.E. (2004). Fibonacci sayıları. PiVOLKA, 3(13), 3-4. Matematik Dünyası 2005-3
