Diferansiyel Denklemler ve Temel Kavramları

Bir diferansiyel denklemi en genel biçimde tanımlamak gerekirse bu tanım şu şekilde olur; bilinmeyen fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevlerini içeren denkleme diferansiyel denklem denir.

y”+xy=0 ; bir diferansiyel denklemdir.

y³+y=0 ; denklem içerisinde bir türev olmadığı için diferansiyel denklem değildir.

y⁽³⁾+y=0 ise bir diferansiyel denklemdir.

Diferansiyel denklemleri ikiye ayırmak mümkündür.

Adi diferansiyel denklemler: Tek bağımsız değişkeni bulunduran diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler denilmektedir.

y’+xy=0 denklemi örnek olarak gösterilebilir ve buradaki bağımsız değişken x, y ise x’e bağımlı değişkendir. [y=y(x)]

Kısmi diferansiyel denklemler: İçerisinde iki ve daha fazla bağımsız değişkeni bulunduran diferansiyel denklemlere kısmi diferansiyel denklemler denir.

d²y/dx²=d²y/dt² ; x ve t bağımsız değişkenler, y ise bağımlı değişkendir.Bu denklemi, y”(x)=4y”(t) şeklinde göstermek de mümkündür.

Bir diferansiyel denklemin basamağı ise denklemin en yüksek “türev”inin basamağıdır veya mertebesidir.

y’+xy=0 => 1.mertebeden
y”+y=0 => 2.basamaktan

Bir diferansiyel denklemin derecesi bilinmeyen fonksiyon ve onun en yüksek mertebeden türevinin denkleminin “polinom” şeklinde yazılışındaki derecesine denklemin derecesi denir.

Bu hususta aşağıdaki maddelerin bilinmesi gereklidir:

• Her denklemin bir derecesi olmak zorunda değildir. Çünkü her diferansiyel denklem bir polinom olmayabilir.
• yⁿ ile y⁽ⁿ⁾ farklıdır.yⁿ, y’nin n. dereceden üssü iken y⁽ⁿ⁾ n. dereceden türevidir.
• dy/dz=1 ise dz/dy=1’dir.

Lineer Denklemler:

İleriki diferansiyel denklemler konularında karşımıza çıkacak olan lineer denklemler ile ilgili bir takım özellikleri gözden geçirmemiz diferansiyel denklemleri bir bütün olarak ele almamızda yarar sağlayacaktır.

Genel denlemi denlemi a_n(x)y⁽ⁿ⁾+a_n-1(x)y^(y-1)+…+a₁(x)y’+a₀(x)y=b(x)  olan denklemlere lineer denklemler denir. b(x), sıfıra eşit ise denkleme homojen lineer denklem denir, sıfıra eşit değilse homojen olmayan lineer denklem denir.

Lineer denklemin özellikleri:

• Bir denklemin lineer olabilmesi için bağımlı değişken ve türevlerinin hepsinin kuvveti 1 olmalıdır.
• Lineer bir denklemde bağımlı değişken ve türevleri hiçbir zaman çarpım durumunda bulunamaz.
• xy’y-5sinx=0 => lineer bir denklem değildir.
• Bir lineer denklemde tüm katsayılar sabit ise denkleme sabit katsayılı lineer denklem denir.
• Fonksiyonun katsayılarından en az biri bağımsız değişken fonksiyon ise denklem değişken katsayılı lineer denklemdir.

Diferansiyel Denklemlerin Elde Edilişi

Problemde bireysel özellikleri verilebilir, geometrik özellikleri ile verilebilir ya da uygulamalı bilim dallarında bir matematiksel model ile karşımıza çıkar.

Diferansiyel denklemlerin elde edilişi konusunda basit bir örnek irdelemek gerekirse,

“Her noktasındaki teğetinin eğimi apsis ve ordinatının çarpımına eşit olan eğrileri bulunuz.” diye bir soru karşımıza çıktığında aşağıdaki işlemler uygulanır.

• Bir eğrinin teğetinin eğimi o noktadaki türevidir.
• Apsisin x ,ordinatın y olduğu düşünülürse elde edeceğimiz diferansiyel denklem y’=xy’dir.

x bağımsız, y bağımlı olmak üzere n’inci basamaktan bir diferansiyel denklemin en genel şekli;
F(x,y,y’,y”,…,y(n))=0 ya da bunun açık biçimi olan y(n)=G(x,y,y’,y”,…,y(n-1))’dir.

Diferansiyel Denklemin Çözümü ve Çözüm Çeşitleri

Bir diferansiyel denklemin bütün çözümlerini içeren çözüme genel çözüm denir. Genel çözümün grafiğine de integral ailesi denir. Çözümdeki c (parametre) sayısına göre 1-parametreli,2-parametreli çözüm, n-parametreli çözüm şeklinde çözümler adlandırılabilir.

Parametrik çözümden elde edilemeyen ancak denklemi sağlayan çözüme aykırı çözüm denir. Denklem lineer ise parametrik çözüm genel çözümdür.

Bir diferansiyel denklemin çözümünde elde edilmiş ifadeleri elemanter fonksiyonlarla hesaplanamayan integralleri içeriyorsa bu denklemin çözümü bir belirsiz integral aracılığı ile verilmiştir (kuvadratüre dönüştürülmüştür) denir. Örnek olarak,
y’=sinx² denkleminin çözümü y(x)=Ssinx²dx +c ‘dir.

Diferansiyel Denklemlerde Başlangıç ve Sınır Değer Problemleri

Bilinmeyen fonksiyon ve onun türevlerinin bağımsız değişkenlerinin bir tek noktasında beliren yardımcı şartlara başlangıç şartları, başlangıç şartlarıyla birlikte denklemi oluşturan probleme de başlangıç değer problemi denir. Başlangıç değer problemlerinde şartların verilişi ve bir biçimi söz konusudur.
y’+xy=1, y(0)=1
y”+4xy=0, y(0)=1, y’(0)=2
y’=2x, y(0)=0 ->  y=x²+c, y(0)=0; c=0

Bu tür denklemlerde de genellikle c parametresinin değeri bulunur.

Sınır değer problemlerinde ise bilinmeyen fonksiyonun ve onun türevlerini bağımlı değişkenin birden fazla noktasında beliren yardımcı şartlara sınır şartları denir. İşte bu tür şartların olduğu problemlere sınır değer problemleri denir.

Bu yazıyı hazırlarken Prof. Dr. Aydın Tiryaki hocamın Diferansiyel Denklemler dersini verdiği dersteki çalışma notlarımdan derledim. Umarım faydalı olur…

Gökhan Atmaca – Tarih: 07.06.08 | facebook.com/anadoluca – twitter.com/kuarkatmaca